Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+3分別交x軸、y軸于A，C兩點，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），經過A，C兩點，與x軸交于點B（1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D為直線AC上一點，點E為拋物線上一點，且D，E兩點的橫坐標都為2，點F為x軸上的點，若四邊形ADEF是平行四邊形，請直接寫出點F的坐標；

（3）若點P是線段AC上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ，求△ACQ的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）（7，0）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）將x=0代入直線的解析式求得點C（0，3），將y=0代入求得x=﹣3，從而得到點A（﹣3，0），設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），將點C的坐標代入可求得a=﹣1，從而得到拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；

（2）將x=2分別代入直線和拋物線的解析式，求得點D（2，5）、E（2，﹣5），然后根據平行四邊形的對角線互相平分可求得點F的坐標；

（3）如圖2所示：設點P的坐標為（a，a+3），則點Q的坐標為（a，﹣a2﹣2a+3）．QP=﹣a2﹣3a，由三角形的面積公式可知：△ACQ的面積=﹣然后利用配方法求得二次函數的最大值即可

解：（1）∵將x=0代入y=x+3，得y=3，

∴點C的坐標為（0，3）．

∵將y=0代入y=x+3得到x=﹣3．

∴點A的坐標為（﹣3，0）．

設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），將點C的坐標代入得：﹣3a=3．

解得：a=﹣1．

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣1）．

整理得：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵將x=2代入y=x+3得，y=5，

∴點D（2，5）．

將x=2代入y=﹣x2﹣2x+3得：y=﹣5．

∴點E的坐標為（2，﹣5）．

如圖1所示：

∵四邊形ADFE為平行四邊形，

∴點F的坐標為（7，0）．

（3）如圖2所示：

設點P的坐標為（a，a+3），則點Q的坐標為（a，﹣a2﹣2a+3）．

QP=﹣a2﹣2a+3﹣（a+3）=﹣a2﹣2a+3﹣a﹣3=﹣a2﹣3a．

∵△ACQ的面積=，

∴△ACQ的面積==﹣=（a）2+．

∴△ACQ的面積的最大值為．