Question

【題目】通過類比聯想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的．

下面是一個案例，請補充完整．

原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．

（1）思路梳理

∵AB=AD

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合

∵∠ADC=∠B=90°

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線根據SAS，易證△AFG≌ ，從而可得EF=BE+DF．

（2）類比引申

如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系 時，仍有EF=BE+DF．

請寫出推理過程：

Answer 1

【答案】（1）△AFE；（2）∠B+∠D=180°．

【解析】

試題分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據全等三角形的性質得出EF=FG，即可得出答案；

（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據全等三角形的性質得出EF=FG，即可得出答案；

解：（1）理由是：如圖1，

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，

則∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°﹣45°=45°=∠EAF，

即∠EAF=∠FAG，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△AFG≌△AFE（SAS），

∴EF=FG=BE+DF；

故答案為：△AFE；

（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，

在△AFE和△AFG中，

，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF，

故答案為：∠B+∠D=180°．