Question

【題目】如圖，矩形OBCD位于直角坐標系中，點B(，0)，點D(0，m)在y軸正半軸上，點A(0，1)，BE⊥AB，交DC的延長線于點E，以AB，BE為邊作ABEF，連結AE．

(1)當m＝時，求證：四邊形ABEF是正方形．

(2)記四邊形ABEF的面積為S，求S關于m的函數關系式．

(3)若AE的中點G恰好落在矩形OBCD的邊上，直接寫出此時點F的坐標．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)S＝m(m＞0)；(3)滿足條件的F坐標為(，2)或(，4)．

【解析】

（1）只要證明△ABO≌△CBE，可得AB=BE，即可解決問題；
（2）在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB，證明△ABO∽△CBE，利用相似三角形的性質求出BE即可解決問題；
（3）分兩種情形I.當點A與D重合時，II.當點G在BC邊上時，畫出圖形分別利用直角三角形和等邊三角形求解即可.

解：(1)如圖1中，

∵m＝，B(，0)，

∴D(0，)，

∴OD＝OB＝，

∴矩形OBCD是正方形，

∴BO＝BC，

∵∠OBC＝∠ABE＝90°，

∴∠ABO＝∠CBE，∵∠BOA＝∠BCE＝90°，

∴△ABO≌△CBE，

∴AB＝BE，

∵四邊形ABEF是平行四邊形，

∴四邊形ABEF是菱形，

∵∠ABE＝90°，

∴四邊形ABEF是正方形．

(2)如圖1中，

在Rt△AOB中，∵OA＝1，OB＝，

∴AB＝＝2，

∵∠OBC＝∠ABE＝90°，

∴∠OBA＝∠CBE，

∵∠BOA＝∠BCE＝90°，

∴△ABO∽△CBE，

∴，

∴ ，

∴BE＝m，

∴S＝ABBE＝m(m＞0)．

(3)①如圖2中，當點A與D重合時，點G在矩形OBCD的邊CD上．

∵tan∠ABO＝，

∴∠ABO＝30°，

在Rt△ABE中，∠BAE＝∠ABO＝30°，AB＝2，

∴AE＝，

∵AG＝GE，

∴AG＝，

∴G(，1)，設F(m，n)，

則有，，

∴m＝，n＝2，

∴F(，2)．

②如圖3中，當點G在BC邊上時，作GM⊥AB于M．

∵四邊形ABEF是矩形，

∴GB＝GA，

∵∠GBO＝90°，∠ABO＝30°，

∴∠ABG＝60°，

∴△ABG是等邊三角形，

∴BG＝AB＝2，

∵FG＝BG，

∴F(，4)，

綜上所述，滿足條件的F坐標為(，2)或(，4)．