Question

【題目】已知的兩邊、的長分別是關于x的一元二次方程的兩個實數根，第三邊的長為5.

（1）當為何值時， 是直角三角形；

（2）當為何值時， 是等腰三角形，并求出的周長.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）14或6

【解析】試題分析：

（1）△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，即AB，AC的平方和是25，則一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數根的平方和是25，根據韋達定理和勾股定理解出k的值，再把k的值代入原方程，檢查k是哪個值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形則可；（2）根據等腰三角形的性質，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，則可有另種情況，再由根與系數的關系得出k的值，再求的周長。

試題解析：

（1）設邊AB=a，AC=b

∵a、b是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩根

∴a+b=2k+3，a－b=k2+3k+2

又∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，且BC=5

∴a2+b2=52，

即（a+b）2-2ab=52，

∴（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25

∴k2+3k-10=0

∴k1=-5或k2=2

當k=-5時，方程為：x2+7x+12=0

解得：x1=-3，x2=-4（舍去）

當k=2時，方程為：x2-7x+12=0

解得：x1=3，x2=4

∴當k=2時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

（2）∵△ABC是等腰三角形；

∴當AB=AC時，△=b2-4ac=0，

∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0

解得k不存在；

當AB=BC時，即AB=5，

∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，

解得k=3或4，

∴AC=4或6，

∴△ABC的周長為14或16