Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知點，的坐標分別為和，點為軸正半軸上的一個動點，過點、、作的外接圓，連結并延長交圓于點，連結、．

（1）求證：．

（2）當時，求的長度．

（3）如圖2，連結，求線段的最小值及當最小時的外接圓圓心的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）OD最小值為9，C（，）

【解析】

（1）根據圓周角定理得出∠ABD=90°，再根據同弧所對的圓周角相等得出∠ADB=∠AEB，從而證明結論；

（2）根據條件算出AB，證明△ABD∽△AOE，得出，解得AE，再根據勾股定理算出OE的長；

（3）設直線BD與y軸交于點F，得出當OD⊥BD時，OD最小，通過解直角三角形算出OD，BD，過點D作DG⊥BE于點G，設OG=x，利用勾股定理解出OG和DG，從而得到點D坐標，結合點A坐標得出圓心C的坐標.

解：（1）由題意可得：AD為⊙O的直徑，

∴∠ABD=∠AOE=90°，

∵∠ADB=∠AEB，∠AOE=90°

∴∠OAE=∠BAD；

（2）∵和，

∴OA=6，OB=，

∴AB=，

∵AD=15，

由（1）得：∠OAE=∠BAD，∠ABD=∠AOE，

∴△ABD∽△AOE，

∴，

即，

解得：AE=，

∴OE=；

（3）設直線BD與y軸交于點F，

∵AB⊥BD，

∴∠OBD=∠OAB=90°-∠ABO，

直線AB位置不變，

∴直線BD位置不變，

∴當OD⊥BD時，OD最小，

此時，OD=OB×sin∠OBD=OB×sin∠OAB=×=×=9，

BD=，

過點D作DG⊥BE于點G，設OG=x，則BG=-x，

在△OBD中，BD2-BG2=OD2-OG2，

即，

解得：x=，即OG=，

DG=，

由題意可得點D在第三象限，

∴點D坐標為（，），而點A（0，6），

∴點C坐標為（，），即（，）.