Question

【題目】已知BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．

（1）求證：直線AD是⊙O的切線；

（2）若AE⊥BC，垂足為M，⊙O的半徑為4，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】（1）先求出∠ABC=30°，進而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，結論得證；

（2）先求出∠AOC=60°，用三角函數求出AM，再用垂徑定理即可得出結論．

（1）如圖，

∵∠AEC=30°，

∴∠ABC=30°，

∵AB=AD，

∴∠D=∠ABC=30°，

根據三角形的內角和定理得，∠BAD=120°，

連接OA，∴OA=OB，

∴∠OAB=∠ABC=30°，

∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，

∴OA⊥AD，

∵點A在⊙O上，

∴直線AD是⊙O的切線；

（2）連接OA，∵∠AEC=30°，

∴∠AOC=60°，

∵BC⊥AE于M，

∴AE=2AM，∠OMA=90°，

在Rt△AOM中，AM=OAsin∠AOM=4×sin60°=2，

∴AE=2AM=4．