Question

【題目】如圖，中，，點從點出發沿射線移動，同時，點從點出發沿線段的延長線移動，已知點、的移動速度相同，與直線相交于點.

（1）如圖1，當點在線段上時，過點作的平行線交于點，連接、，求證：點是的中點；

（2）如圖2，過點作直線的垂線，垂足為，當點、在移動過程中，線段、、有何數量關系？請直接寫出你的結論： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或.

【解析】

（1）由題意得出BD=CE，由平行線的性質得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性質得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，證出BD=GD=CE，即可得出結論；

（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三線合一性質得出BM=GM，由平行線得出GF=CF，即可得出結論．

（1）四邊形CDGE是平行四邊形．理由如下：

∵D、E移動的速度相同，

∴BD=CE，

∵DG∥AE，

∴∠DGB=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠DGB，

∴BD=GD=CE，

又∵DG∥CE，

∴四邊形CDGE是平行四邊形；

（2）當點D在AB邊上時，BM+CF=MF；理由如下：

如圖2，

由（1）得：BD=GD=CE，

∵DM⊥BC，

∴BM=GM，

∵DG∥AE，

∴GF=CF，

∴BM+CF=GM+GF=MF．

同理可證，當D點在BA的延長線上時，可證， 如圖3，4.