Question

【題目】如圖，AB是⊙O的一條弦，點C在半徑OA上且不與點A，O重合，過點C作CD⊥OA于點C，交弦AB于點E，交過點B的⊙O的切線于點D．

（1）求證：DB＝DE；

（2）若sin∠ABO＝，BE＝10，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解 （2）DE=9

【解析】

（1）由切線的性質可得⊥BO,由余角的性質可得∠DBE=∠AEC=∠DEB,即求出DB=DE．

（2）過點D作DF⊥BE，由等腰三角形的性質可求BF=EF=5,∠BDF=∠EDF，由銳角三角函數即可求出DE的值．

（1）∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵BD是⊙O的切線，

∴BD⊥BO，

∴∠DBE+∠OBA=90°，

∵CD⊥AO，

∴∠BAO+∠CEA=90°，

∴∠DBE=∠AEC且∠AEC=∠DEB，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE；

(2)如圖，過點D作DF⊥BE；

∵DB=DE，DF⊥BE，

∴BF=EF=5，∠BDF=∠EDF；

∵∠BDF+∠DBF=90°,∠DBF+∠OBA=90°，

∴∠ABO=∠BDF=∠EDF；

∵=，

∴==，且EF=5，

∴DE=9．