Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求△BCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．
（3）在拋物線上是否存在點P使得△ABP為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個符合條件的點P（簡要說明理由）并寫出其中一個點的坐標；若不存在這樣的點P，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），利用待定系數法，將點A與B的坐標代入拋物線的解析式即可求得a與b的值，則可得此拋物線的解析式；
（2）根據已知可求得點C的坐標，然后作輔助線：EF∥AB，設點E的坐標為（x，y），由S_△BEC=S_梯形OBEF+S_△EFC-S_△BOC即可求得關于x的二次函數，配方即可求得x的值，代入解析式，求得y的值；
（3）分別從AP=BP與AB=BP與AB=AP去分析，可得到存在符合條件的點有5個，其中最好求得是P在頂點時的坐標，配方求解即可．

解答：解：（1）將點A與B的坐標代入拋物線的解析式得：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）∵拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3，
∴點C的坐標為（0，3），
設點E的坐標為（x，y），過點E作EF∥AB交y軸于F，
∴EF=-x，OB=3，OC=3，OF=-x²-2x+3，CF=3-（-x²-2x+3）=x²+2x，∴S_△BEC=S_梯形OBEF+S_△EFC-S_△BOC
=

1

2

（EF+OB）•OF+

1

2

EF•CF-

1

2

OB•OC
=

1

2

×（-x+3）×（-x²-2x+3）+

1

2

×（-x）×（x²+2x）-

1

2

×3×3
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴當x=-

3

2

時，△BCE的面積最大，最大面積為

27

8

；
∴y=-x²-2x+3=

15

4

，
∴點E的坐標為（-

3

2

，

15

4

）；

（3）存在．
如果AP=BP，則點P在AB的垂直平分線上，即是拋物線的頂點，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴此時P點的坐標為（-1，4）；
如果AB=BP，則如圖①：
如果AB=AP，則如圖②：
∴存在使得△ABP為等腰三角形的P點3個；
有一點的坐標為（-1，4）．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，三角形的面積最大值問題以及求拋物線上的點的問題．此題綜合性很強，注意數形結合與方程思想的應用．