Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線BC的函數(shù)解析式；
（3）在拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△ABC的面積，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）點(diǎn)Q是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△QOB為等腰三角形，請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（可直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）已知了B、C的坐標(biāo)可用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式．
（3）由于三角形ABC和三角形PAB的面積相等，根據(jù)等底三角形的面積比等于高的比，可得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．可將其代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）本題分三種情況，如下圖：
①OQ=QB，此時(shí)Q在OB的垂直平分線上，因此Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為B點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，然后可代入直線BC的解析式中求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
②OQ=OB，此時(shí)可根據(jù)直線BC的解析式設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間距離公式表示出OQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)OB的長(zhǎng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
③OB=BQ，解法同②．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），
已知拋物線過(guò)C（0，3），則有：
3=a（0+1）（0-4），a=-

3

4

∴拋物線的解析式為y=-

3

4

x²+

9

4

x+3

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，
已知直線BC過(guò)B（4，0），則有：
4k+3=0，k=-

3

4

∴直線BC的函數(shù)解析式為y=-

3

4

x+3

（3）存在一點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△ABC的面積
∵△ABC的底邊AB上的高為3
設(shè)△PAB的高為h，則|h|=3，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3或-3
∴當(dāng)3=-

3

4

x²+

9

4

x+3時(shí)，
得x=0，x=3；
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），（3，3），而點(diǎn)（0，3）與C點(diǎn)重合，故舍去．
當(dāng)-3=-

3

4

x²+

9

4

x+3，
得x=

3+ 41

2

，x=

3- 41

2

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（3，3），P₂（

3+ 41

2

，-3），P₃（

3- 41

2

，-3）

（4）Q₁（2，

3

2

），Q₂（

36

5

，-

12

5

），Q₃（

4

5

，

12

5

），Q₄（-

28

25

，

96

25

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識(shí)．