Question

【題目】閱讀以下材料，并解決相應問題：

材料一：換元法是數學中的重要方法，利用換元法可以從形式上簡化式子，在求解某些特殊方程時，利用換元法常常可以達到轉化的目的，例如在求解一元四次方程，就可以令，則原方程就被換元成，解得 t 1，即，從而得到原方程的解是 x 1

材料二：楊輝三角形是中國數學上一個偉大成就，在中國南宋數學家楊輝 1261 年所著的《詳解九章算法》一書中出現，它呈現了某些特定系數在三角形中的一種有規律的幾何排列，下圖為楊輝三角形：

……………………………………

（1）利用換元法解方程：

（2）在楊輝三角形中，按照自上而下、從左往右的順序觀察， an 表示第 n 行第 2 個數（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 個數，表示第行第 3 個數，請用換元法因式分解：

Answer 1

【答案】（1）或或x=-1或x=-2；（2）=（n2-5n+5）2

【解析】

（1）設t=x2+3x-1，則原方程可化為：t2+2t=3，求得t的值再代回可求得方程的解；

（2）根據楊輝三角形的特點得出an，bn，cn，然后代入4（bn-an）cn+1再因式分解即可．

（1）解：令t=x2+3x-1

則原方程為：t2+2t=3

解得：t=1或者 t=-3

當t=1時，x2+3x-1=1

解得：或

當t=-3時，x2+3x-1=-3

解得：x=-1或x=-2

∴方程的解為：或或x=-1或x=-2

（2）解：根據楊輝三角形的特點得出：

an=n-1

∴4（bn-an）cn+1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n2-5n+4）（n2-5n+6）+1

=（n2-5n+4）2+2（n2-5n+4）+1=（n2-5n+5）2