Question

【題目】已知：矩形ABCD內接于⊙O，連接 BD，點E在⊙O上，連接 BE交 AD于點F，∠BDC+45°=∠BFD，連接ED．

（1）如圖 1，求證：∠EBD=∠EDB；

（2）如圖2，點G是 AB上一點，過點G作 AB的垂線分別交BE和 BD于點H和點K，若HK=BG+AF，求證：AB=KG；

（3）如圖 3，在（2）的條件下，⊙O上有一點N，連接 CN分別交BD和 AD于點 M和點 P，連接 OP，∠APO=∠CPO，若 MD=8，MC= 3，求線段 GB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）GB．

【解析】

（1）根據矩形的性質可知∠BDC=∠DBA，∠A=90°，再結合已知條件∠BDC+45°=∠BFD，通過角的等量代換可得出∠EBD=45°，又因為∠BED=90°，即可得出結論；

（2）過點K 作 KS⊥BE，垂足為 R，交 AB 于點 S．證明△SRB≌△HRK，得出SB=HK，再證明△ABF≌△GKS，即可得出結論；

（3）過點 O 分別作AD 和 CN 的垂線，垂足分別為 Q 和 T，連接 OC．通過證明△OQD≌△OTC，得出AD=CN=BC，連接ON，證△NOC≌△BOC，得出∠BCO=∠NCO

設∠OBC=∠OCB=∠NCO=α，由此得出∠MOC=2α，過點 M 作 MW⊥OC，垂足為 W

在 OC 上取一點 L，使 WL=OW，連接 ML，設OM=ML=LC=a，根據勾股定理可求出OM的值,繼而求出MW=3，WC=9，∴OB=OC=OD=13，BD=26，再解直角三角形即可．

解：（1）如圖1，∵矩形 ABCD

∴AB∥CD，∠A=90°

∴∠BDC=∠DBA，BD是⊙O的直徑

∴∠BED=90°

∵∠BFD=∠ABF+∠A，∠BFD=∠BDC+45°

∴∠ABF+∠A=∠BDC+45°

即∠ABF+90°=∠DBA+45°

∴∠DBA-∠ABF=45°

∴∠EBD=45°

∴∠EBD=∠EDB

（2）證明：如下圖 ，在圖2中，過點K 作 KS⊥BE，垂足為 R，交 AB 于點 S．

∵KG⊥AB

∴∠BGH=∠KRH=∠SRB=∠KGS=90°

∴∠SBR=∠HKR

∵∠RBK=∠RKB=45°

∴BR=KR

∵∠SRB=∠HRK=90°

∴△SRB≌△HRK

∴SB=HK

∵SB=BG+SG，HK=BG+AF

∴BG+SG=BG+AF

∴SG=AF

∵∠ABF=∠GKS，∠BAF=∠KGS=90°

∴△ABF≌△GKS

∴AB=KG

（3）如下圖 ，在圖3中，過點 O 分別作AD 和 CN 的垂線，垂足分別為 Q 和 T，連接 OC．

∵∠APO=∠CPO

∴OQ=OT

∵OD=OC，∠OQD=∠OTC=90°

∴△OQD≌△OTC

∴DQ=CT

∴AD=CN=BC

連接 ON

∵OC=OC，ON=OB

∴△NOC≌△BOC

∴∠BCO=∠NCO

設∠OBC=∠OCB=∠NCO=α

∴∠MOC=2α

過點 M 作 MW⊥OC，垂足為 W

在 OC 上取一點 L，使 WL=OW，連接 ML

∴MO=ML

∴∠MOL=∠MLO=2α

∴∠LCM=∠LMC=α

∴ML=CL

設OM=ML=LC=a

則OD=a+8=OC，∴OL=8，OW=WL=4

∵OM 2OW2MW2MC 2CW 2

∴

（9 舍去）， 5

∴OM=5

∴MW=3，WC=9，∴OB=OC=OD=13，BD=26

∵∠GKB=∠CBD=∠ADB=∠BCO=∠MCW，tan∠MCW=

∴tan∠GKB=tan∠CBD=tan∠ADB=tan∠BCO=tan∠MCW=

∴CD=GK=AB

在 Rt△GKB 中，tan∠GKB=

∴GB