Question

【題目】△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點F、G，連接BE．

（1）如圖（a）所示，當點D在線段BC上時．

①求證：△AEB≌△ADC；

②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；

（2）如圖（b）所示，當點D在BC的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結論是否成立；

（3）在（2）的情況下，當點D運動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②四邊形BCGE是平行四邊形，見解析；（2）①②都成立；（3）當CD＝CB （∠CAD＝30°或∠BAD＝90°或∠ADC＝30°）時，四邊形BCGE是菱形，見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°，然后求出∠BAE＝∠CAD，再利用“邊角邊”證明△AEB和△ADC全等；②四邊形BCGE是平行四邊形，因為△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE＝∠C＝60°，進而證明∠ABE＝∠BAC，則可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）根據（1）的思路解答即可．（3）當CD＝CB時，四邊形BCGE是菱形，由（1）可知△AEB≌△ADC，可得BE＝CD，再證明BE＝CB，即鄰邊相等的平行四邊形是菱形．

證明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°．

又∵∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，

∴∠EAB＝∠DAC，

∴△AEB≌△ADC（SAS）．

②方法一：由①得△AEB≌△ADC，

∴∠ABE＝∠C＝60°．

又∵∠BAC＝∠C＝60°，

∴∠ABE＝∠BAC，

∴EB∥GC．

又∵EG∥BC，

∴四邊形BCGE是平行四邊形．

方法二：證出△AEG≌△ADB，得EG＝AB＝BC．

∵EG∥BC，

∴四邊形BCGE是平行四邊形．

（2）①②都成立．

（3）當CD＝CB （∠CAD＝30°或∠BAD＝90°或∠ADC＝30°）時，四邊形BCGE是菱形．

理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，

∴BE＝CD

又∵CD＝CB，

∴BE＝CB．

由②得四邊形BCGE是平行四邊形，

∴四邊形BCGE是菱形．

方法二：由①得△AEB≌△ADC，

∴BE＝CD．

又∵四邊形BCGE是菱形，

∴BE＝CB

∴CD＝CB．

方法三：∵四邊形BCGE是平行四邊形，

∴BE∥CG，EG∥BC，

∴∠FBE＝∠BAC＝60°，∠F＝∠ABC＝60°

∴∠F＝∠FBE＝60°，∴△BEF是等邊三角形．

又∵AB＝BC，四邊形BCGE是菱形，

∴AB＝BE＝BF，

∴AE⊥FG

∴∠EAG＝30°，

∵∠EAD＝60°，

∴∠CAD＝30°．