Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點E為△ABC的內心，連接AE并延長交⊙O于D點，連接BD并延長至F，使得BD=DF，連接CF、BE．
（1）求證：DB=DE；
（2）求證：直線CF為⊙O的切線

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E是△ABC的內心，

∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，

∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE

（2）證明：連接CD．

∵DA平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAC，

∴ = ，

∴BD=CD，

∵BD=DF，

∴CD=DB=DF，

∴∠BCF=90°，

∴BC⊥CF，

∴CF是⊙O的切線．

【解析】（1）欲證明DB=DE，只要證明∠DBE=∠DEB；（2）欲證明直線CF為⊙O的切線，只要證明BC⊥CF即可；