Question

【題目】如圖，△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四個結論：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正確結論的序號是 （請將所有正確結論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據角平分線性質即可推出①，根據勾股定理即可推出AR=AS，根據等腰三角形性質推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據平行線判定推出QP//AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，無法判斷△BRP≌△QSP；連接RS，與AP交于點D，先證△ARD≌△ASD，則RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．

①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，

∴點P在∠A的平分線上，∠ARP=∠ASP=90°，

∴∠SAP=∠RAP，

在Rt△ARP和Rt△ASP中，

，

∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，

∴AR=AS，∴①正確；

②∵AQ=QP，

∴∠QAP=∠QPA，

∵∠QAP=∠BAP，

∴∠QPA=∠BAP，

∴QP//AR，∴②正確；

③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，

不滿足三角形全等的條件，故③錯誤；

④如圖，連接RS，與AP交于點D，

在△ARD和△ASD中，

，

∴△ARD≌△ASD，

∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，

所以AP垂直平分RS，故④正確，

故答案為：①②④．