Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的半徑為1，點A在x軸的正半軸上，B為⊙O上一點，過點A、B的直線與y軸交于點C，且OA2＝ABAC．

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；

（2）若AB＝，求直線AB對應的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

，

（1）連接OB，根據題意可證明△OAB∽△CAO，繼而可推出OB⊥AB，根據切線定理即可求證結論；

（2）根據勾股定理可求得OA＝2及A點坐標，根據相似三角形的性質可得，進而可求CO的長及C點坐標，利用待定系數法，設直線AB對應的函數表達式為y＝kx+b，再把點A、C的坐標代入求得k、b的值即可．

（1）證明：連接OB．

∵OA2＝ABAC

∴,

又∵∠OAB＝∠CAO，

∴△OAB∽△CAO，

∴∠ABO＝∠AOC，

又∵∠AOC＝90°，

∴∠ABO＝90°，

∴AB⊥OB；

∴直線AB是⊙O的切線；

（2）解：∵∠ABO＝90°，，OB＝1，

∴，

∴點A坐標為（2，0），

∵△OAB∽△CAO，

∴，

即，

∴，

∴點C坐標為；

設直線AB對應的函數表達式為y＝kx+b，

則，

∴

∴．

即直線AB對應的函數表達式為．