Question

閱讀材料：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根，那么有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

，這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．據(jù)此材料解答以下問題：
若關(guān)于x的方程x²-6x+k=0有兩個實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁，x₂是方程x²-6x+k=0的兩根，且x12x22-x1-x2=115，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由關(guān)于x的方程x²-6x+k=0有兩個實(shí)數(shù)根，可得判別式△≥0，繼而求得k的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得x₁+x₂=6，x₁•x₂=k，又由x₁²x₂²-x₁-x₂=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）=115，代入即可求得答案．

解答：解：①∵關(guān)于x的方程x²-6x+k=0有兩個實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（-6）²-4×1×k=36-4k≥0，
解得：k≤9，
∴k的取值范圍為：k≤9；

②∵x₁，x₂是方程x²-6x+k=0的兩根，
∴x₁+x₂=6，x₁•x₂=k，
∴x₁²x₂²-x₁-x₂=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）=k²-6=115，
∴k²=121，
∴k=±11，
∵k≤9，
∴k=-11．

點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與判別式的應(yīng)用．此題難度適中，注意理解題意，掌握果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

的應(yīng)用．