Question

【題目】如圖，在正方形中，點在邊上運動（不運動至兩端點），射線，交于點，為的外接圓，連結，，．

（1）求的度數．

（2）求證：．

（3）若正方形的邊長為．

①當為中點時，求四邊形的面積．

②設，交于點，設，，的面積分別為，，，當平分時，_________（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）見解析；（3）①3，②

【解析】

（1）根據正方形的性質和弧的度數等于弧所對的圓心角的度數，即可求出．

（2）可證得△OAB≌△OAD，求出∠OAD度數，∠OFB=45°，在四邊形OADF中，利用四邊形內角和，即可證得．

（3）①四邊形OAEF的面積=△OAD的面積+△ODF的面積-△FDE的面積，作OH⊥AD，OG⊥FD，垂足分別為H，G，連結OD，分別求得△OAD的面積、△ODF的面積和△FDE的面積，即可求解．

②可證得∴所以，，，的面積分別為，，，它們的高均為MD，為求面積比，即可求來，設圓的半徑為r，可將BE、ME、MF均用r表示出來即可求解．

（1） 解：∵∠ADB=45°， ∠ADF=90°，

∴∠BDF=135°

∴優弧=270°．

∴=90°，∠BOF =90°

∵OB=OF，

∴∠OFB=∠OBF=45°

故答案為：45°

（2）證明：連結OD（如圖１），

∵OB=OD，OA=OA，AB=AD，

∴△OAB≌△OAD（SSS）．

∴∠OAB=∠OAD=．

∵∠OFB=45°，

∴∠AOF+∠AEF=360°-135°-45°=180°

圖1

（3）①作OH⊥AD，OG⊥FD，垂足分別為H，G，連結OD（如圖2），

圖2

由AE=ED，易得△ABE≌△DFE，

∴FD=AB=2，

由OD=OF，OG⊥FD，得GD=

由OH⊥AD，OG⊥FD，∠ADF=90°，得矩形OHDG，

∴OH=GD=1．

由∠OAH=∠OAB-∠HAB=135°-90°=45°，

得∠HOA=∠HAO=45°

∴AH=OH=1，OG=HD=AH+AD=1+2=3．

∵△OAD的面積=，

△ODF的面積=，

△FDE的面積=，

∴四邊形OAEF的面積=△OAD的面積+△ODF的面積-△FDE的面積=1+3-1=3．

②OD與BF交于點M如圖3：

平分

∴

又∵

∴

∴

∵OF=OB

∴BM=MF

設圓的半徑為r

BM=MF=

∵

∵

∴

∴

，

，，的面積分別為，，，三個三角形的高均為MD

∴

圖3

故答案為：