Question

【題目】如圖，矩形AOBC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊OA在y軸的正半軸上，邊OB在x軸的正半軸上，拋物線的頂點為F，對稱軸交AC于點E，且拋物線經(jīng)過點A（0，2），點C，點D（3，0）．∠AOB的平分線是OE，交拋物線對稱軸左側(cè)于點H，連接HF．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在x軸上有動點M，線段BC上有動點N，求四邊形EAMN的周長的最小值；

（3）該拋物線上是否存在點P，使得四邊形EHFP為平行四邊形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+2；（2）；（3）不存在點P，使得四邊形EHFP為平行四邊形，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意可以得到C的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線過點A、C、D可以求得該拋物線的解析式；

（2）根據(jù)對稱軸和圖形可以畫出相應(yīng)的圖形，然后找到使得四邊形EAMN的周長的取得最小值時的點M和點N即可，然后求出直線MN的解析式，然后直線MN與x軸的交點即可解答本題；

（3）根據(jù)題意作出合適的圖形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知EH＝FP，而通過計算看EH和FP是否相等，即可解答本題．

解：（1）∵AE∥x軸，OE平分∠AOB，

∴∠AEO＝∠EOB＝∠AOE，

∴AO＝AE，

∵A（0，2），

∴E（2，2），

∴點C（4，2），

設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+2，

∵C（4，2）和D（3，0）在該函數(shù)圖象上，

∴，得，

∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣x+2；

（2）作點A關(guān)于x軸的對稱點A1，作點E關(guān)于直線BC的對稱點E1，連接A1E1，交x軸于點M，交線段BC于點N．

根據(jù)對稱與最短路徑原理，

此時，四邊形AMNE周長最小．

易知A1（0，﹣2），E1（6，2）．

設(shè)直線A1E1的解析式為y＝kx+b，

，得，

∴直線A1E1的解析式為．

當(dāng)y＝0時，x＝3，

∴點M的坐標(biāo)為（3，0）．

∴由勾股定理得AM＝，ME1＝，

∴四邊形EAMN周長的最小值為AM+MN+NE+AE＝AM+ME1+AE＝；

（3）不存在．

理由：過點F作EH的平行線，交拋物線于點P．

易得直線OE的解析式為y＝x，

∵拋物線的解析式為y＝x2﹣x+2＝，

∴拋物線的頂點F的坐標(biāo)為（2，﹣），

設(shè)直線FP的解析式為y＝x+b，

將點F代入，得，

∴直線FP的解析式為．

，

解得或，

∴點P的坐標(biāo)為（，），FP＝×（﹣2）＝，

，

解得，或，

∵點H是直線y＝x與拋物線左側(cè)的交點，

∴點H的坐標(biāo)為（，），

∴OH＝×＝，

易得，OE＝2，

EH＝OE﹣OH＝2﹣ ＝，

∵EH≠FP，

∴點P不符合要求，

∴不存在點P，使得四邊形EHFP為平行四邊形．