Question

【題目】【問題學習】小蕓在小組學習時問小娟這樣一個問題：已知α為銳角，且sinα= ，求sin2α的值．小娟是這樣給小蕓講解的：
構造如圖1所示的圖形，在⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．設∠BAC=α，則sinα= ，可設BC=x，則AB=3x，…．

（1）【問題解決】
請按照小娟的思路，利用圖1求出sin2α的值；（寫出完整的解答過程）
（2）如圖2，已知點M，N，P為⊙O上的三點，且∠P=β，sinβ= ，求sin2β的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．設∠BAC=α，則sinα= ，可設BC=x，則AB=3x．

∴AC= = =2 x，
∵ ACBC= ABCD，
∴CD= x，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=α，
∴∠COB=2α，
∴sin2α= =
（2）解：如圖2中，連接NO，并延長交⊙O于點Q，連接MQ，MO，過點M作MR⊥NO于點R．

在⊙O中，∠NMQ=90°，
∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，∵sinβ= ，
∴設MN=3k，則NQ=5k，易得OM= NQ= ，
∴MQ= =4k，
∵ ，
∴3k4k=5kMR
∴MR= ，
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON= ．
【解析】（1）通過圓周角定理構造2倍關系角和直角三角形，利用正弦定義可求出sin2α的值；（2）借鑒（1）的方法，通過圓周角定理把圓周角∠P轉化為一條邊過圓心的圓周角，進而構造出2倍角，利用定義求出正弦.