Question

【題目】圖1是邊長分別為4 和2的兩個等邊三角形紙片ABC和OD′E′疊放在一起（C與O重合）．
（1）操作：固定△ABC，將△ODE繞點C順時針旋轉30°，后得到△ODE，連接AD、BE、CE的延長線交AB于F（圖2）： 探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？試證明你的結論．
（2）在（1）的條件下將△ODE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的△CDE設為△PQR，當點P與點F重合時停止運動（圖3）． 探究：設△PQR移動的時間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數自變量x的取值范圍．
（3）將圖1中△ODE固定，把△ABC沿著OE方向平移，使頂點C落在OE的中點G處，設為△ABG，然后獎△ABG繞點G順時針旋轉，邊BG交邊DE于點M，邊AG交邊DO于點N，設∠BGE=α（30°＜α＜90°）（圖4）． 探究：在圖4中，線段ONEM的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出ONEM的值，如果有變化，請你說明．

Answer 1

【答案】
（1）解：BE=AD．

證明：如圖2，∵△ABC與△DCE是等邊三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE與△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD

（2）解：如圖3，在△CQT中

∵∠TCQ=30°∠RQP=60°，

∴∠QTC=30°，

∴∠QTC=∠TCQ，

∴QT=QC=x，

∴RT=2﹣x，

∵∠RTS+∠R=90°

∴∠RST=90°

∴y= ×22﹣ （2﹣x）2=﹣ （2﹣x）2+ （0≤x≤2）

（3）解：ONEM的值不變，

理由為：如圖4，∵∠AGB=60°，

∴∠MGE+∠NGO=120°，

∵∠GNO+∠NGO=120°，

∴∠MGE=∠GNO，

∵∠E=∠O，

∴△EMG∽△OGN，

∴ = ，

∴ONEM=OGEG=1．

【解析】（1）可通過證三角形BEC和ACD全等來得出BE=AD；（2）由于重合部分的面積無法直接求出，因此可用△RPQ的面積減去△RST的面積來求得（S、T為RP、RQ與AC的交點）．△PRQ的面積易求得，關鍵是△RST的面積，三角形RST中，由于∠RTS=∠CTQ=60°﹣∠TCQ=30°，而∠R=60°，因此△RST是直角三角形，只需求出RS和ST的長即可．上面已經求得了∠QTC=∠QCT=30°，因此RT=RQ﹣QT=RQ﹣QC=3﹣x，然后根據△RTS中特殊角的度數，即可得出RS和ST的長，進而可得出y與x的函數關系式；（3）本題可通過證△GEM和△NGO相似來求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．