Question

【題目】在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．

（1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數量關系；
（2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉角度α（0°＜α＜45°）．
①如圖2，在旋轉過程中（1）中的結論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
②如圖2，在旋轉過程中，當∠DOM=15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；
③如圖3，旋轉后，若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數量關系，并給出證明；當BD=mBP時，請直接寫出PE與PF的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：PE=PF，理由：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB，

∴PE=PF

（2）

解：①成立，理由：

∵AC、BD是正方形ABCD的對角線，

∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，

∴∠DOE+∠AOE=90°，

∵∠MPN=90°，

∴∠FOA+∠AOE=90°，

∴∠FOA=∠DOE，

在△FOA和△EOD中，

，

∴△FOA≌△EOD，

∴OE=OF，即PE=PF；

②作OG⊥AB于G，

∵∠DOM=15°，

∴∠AOF=15°，則∠FOG=30°，

∵cos∠FOG= ，

∴OF= = ，又OE=OF，

∴EF= ；

③PE=2PF，

證明：如圖3，過點P作HP⊥BD交AB于點H，

則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°，

∴HP=BP，

∵BD=3BP，

∴PD=2BP，

∴PD=2 HP，

又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，

∴∠HPF=∠DPE，

又∵∠BHP=∠EDP=45°，

∴△PHF∽△PDE，

∴ = = ，

即PE=2PF，

由此規律可知，當BD=mBP時，PE=（m﹣1）PF．

【解析】（1）根據正方形的性質和角平分線的性質解答即可；（2）①根據正方形的性質和旋轉的性質證明△FOA≌△EOD，得到答案；②作OG⊥AB于G，根據余弦的概念求出OF的長，根據勾股定理求值即可；③過點P作HP⊥BD交AB于點H，根據相似三角形的判定和性質求出PE與PF的數量關系，根據解答結果總結規律得到當BD=mBP時，PE與PF的數量關系．