Question

【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結論： ①2a+b=0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數根；
④拋物線與x軸的另一個交點是（﹣1，0）；
⑤當1＜x＜4時，有y2＜y1 ，
其中正確的是（ ）

A.①②③
B.①③④
C.①③⑤
D.②④⑤

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵拋物線的頂點坐標A（1，3）， ∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =1，
∴2a+b=0，所以①正確；
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴b=﹣2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②錯誤；
∵拋物線的頂點坐標A（1，3），
∴x=1時，二次函數有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數根，所以③正確；
∵拋物線與x軸的一個交點為（4，0）
而拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣2，0），所以④錯誤；
∵拋物線y1=ax2+bx+c與直線y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B點（4，0）
∴當1＜x＜4時，y2＜y1 ， 所以⑤正確．
故選：C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數圖象以及系數a、b、c的關系的相關知識，掌握二次函數y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上; a<0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關：對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，c），以及對拋物線與坐標軸的交點的理解，了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．