Question

【題目】如圖（1），已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸負方向交于C點，且．

（1）試求出拋物線的解析式；

（2）E為直線上．動點，F為拋物線對稱軸上一點，當F點在對稱軸上何處時，四邊形ACFE的周長最短，并求出此時四邊形的周長；

（3）如圖（2），為x軸上一點，拋物線上x軸的上方是否存在點P，使得線段AP與直線CD相交且它們的夾角為45°，若存在這樣的P點，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形ACFE的最短周長，；（3）存在這樣的P點，且

【解析】

（1）令y=0，可求得A(-1.0),B(3,0),根據條件求出點C的坐標，把點C的坐標代入拋物線的解析式求出a即可;

（2）設點A關于直線y=1的對稱點,點C關于拋物線對稱軸的對稱點，連接與直線y=1交于點E，與對稱軸交于點F，此時四邊形ACEF的周長最短，求出直線與對稱軸的交點即可;

（3）設AP交CD于M，連BC．可證，得出，過M作軸于E，則可證，得到，，得到AM的解析式，聯立方程組即可求解.

解：（1），

∴，．

∵，，

∴．∴，∴

（2）設A關于的對稱點為，則，設C關于拋物線對稱軸的對稱點為則．

設直線的解析式為，

則有，解得

∴，當時，，∴．

四邊形ACFE的最短周長，

，．

∴四邊形ACFE的最短周長，此時．

（3）設AP交CD于M，連BC．

可證：，

∴，即．

∴．

過M作軸于E，則可證，

∴，即．

∴，，

∴AM的解析式為：．

由解得舍去

∴存在這樣的P點，且