Question

如圖，點O是△ABC的內角平分線的交點，O′是△ABC的外角平分線的交點
求證：（1）∠AOB=90°+

1

2

∠C；
（2）∠AO′B=90°-

1

2

∠C．

Answer 1

證明：（1）如圖∵在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°，
在△AOB中，∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∵AO，BO分別是∠CAB和∠ABC的平分線，
∴∠CAB=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA，
∴∠ABO+

1

2

∠CAB+

1

2

∠ABC=180°，
又∵在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°
∴∠AOB=

1

2

∠C+90°；

證明：（2）O′是△ABC的外角平分線的交點，
則∠O′AB=

1

2

∠EAB=

1

2

（180°-∠CAB）=90°-

1

2

∠CAB，
∠ABO′=

1

2

∠ABF=90°-

1

2

∠CBA，
∴∠O′AB+∠ABO′=180°-

1

2

（∠CAB+∠CBA）
又∵∠CAB+∠CBA=180°-∠C，
∴∠O′AB+∠ABO′=90°+

1

2

∠C，
在△ABO′中利用內角和定理得到：
∠AO′B=180°-（∠O′AB+∠O′BA）=180°-（90°+

1

2

∠C）=90°-

1

2

∠C．