Question

如圖：在△ABC中，∠A=α，△ABC的內角或外角平分線交于點P，且∠P=β，試探求圖1，2，3中α與β的關系，并選擇你認為最有把握又最喜歡的一個加以說明．

Answer 1

（1）β=90°+

1

2

α；（2）β=

1

2

α；（3）β=90°-

1

2

α．
下面選擇（1）進行證明．
在圖（1）中，根據三角形內角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP與CP是△ABC的角平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°-

1

2

α．
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α．
∴β=90°+

1

2

α．圖（2），結論：∠BPC=

1

2

∠A．
證明如下：
∠P=∠1-∠2=

1

2

（∠ACD-∠ABC）=

1

2

∠A．
∴β=

1

2

α；
（3）∵BP、CP分別是△ABC兩個外角∠CBD和∠BCE的平分線，
∴∠CBP=

1

2

（∠A+∠ACB），∠BCP=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∴∠P與∠A的關系是：∠P=180°-∠A-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°-

1

2

α．