Question

【題目】已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M（1，0），且a＜b．
（Ⅰ）求拋物線頂點Q的坐標（用含a的代數式表示）；
（Ⅱ）說明直線與拋物線有兩個交點；
（Ⅲ）直線與拋物線的另一個交點記為N．
（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣ ，求線段MN長度的取值范圍；
（ⅱ）求△QMN面積的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵拋物線y=ax2+ax+b過點M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=﹣2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+ ）2﹣ ，
∴拋物線頂點Q的坐標為（﹣ ，﹣ ）；
（Ⅱ）∵直線y=2x+m經過點M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=﹣2，
聯立直線與拋物線解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0（*）
∴△=（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）=9a2﹣12a+4，
由（Ⅰ）知b=﹣2a，且a＜b，
∴a＜0，b＞0，
∴△＞0，
∴方程（*）有兩個不相等的實數根，
∴直線與拋物線有兩個交點；
（Ⅲ）聯立直線與拋物線解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，即x2+（1﹣ ）x﹣2+ =0，
∴（x﹣1）[x﹣（ ﹣2）]=0，解得x=1或x= ﹣2，
∴N點坐標為（ ﹣2， ﹣6），
（i）由勾股定理可得MN2=[（ ﹣2）﹣1]2+（ ﹣6）2= ﹣ +45=20（ ﹣ ）2 ，
∵﹣1≤a≤﹣ ，
∴﹣2≤ ≤﹣1，
∴MN2隨 的增大而減小，
∴當 =﹣2時，MN2有最大值245，則MN有最大值7 ，
當 =﹣1時，MN2有最小值125，則MN有最小值5 ，
∴線段MN長度的取值范圍為5 ≤MN≤7 ；
（ii）如圖，設拋物線對稱軸交直線與點E，

∵拋物線對稱軸為x=﹣ ，
∴E（﹣ ，﹣3），
∵M（1，0），N（ ﹣2， ﹣6），且a＜0，設△QMN的面積為S，
∴S=S△QEN+S△QEM= |（ ﹣2）﹣1||﹣ ﹣（﹣3）|= ﹣ ﹣ ，
∴27a2+（8S﹣54）a+24=0（*），
∵關于a的方程（*）有實數根，
∴△=（8S﹣54）2﹣4×27×24≥0，即（8S﹣54）2≥（36 ）2 ，
∵a＜0，
∴S= ﹣ ﹣ ＞ ，
∴8S﹣54＞0，
∴8S﹣54≥36 ，即S≥ + ，
當S= + 時，由方程（*）可得a=﹣ 滿足題意，
∴當a=﹣ ，b= 時，△QMN面積的最小值為 + ．
【解析】（Ⅰ）把M點坐標代入拋物線解析式可得到b與a的關系，可用a表示出拋物線解析式，化為頂點式可求得其頂點坐標；（Ⅱ）由直線解析式可先求得m的值，聯立直線與拋物線解析式，消去y，可得到關于x的一元二次方程，再判斷其判別式大于0即可；（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）的方程，可求得N點坐標，利用勾股定理可求得MN2 ， 利用二次函數性質可求得MN長度的取值范圍；（ii）設拋物線對稱軸交直線與點E，則可求得E點坐標，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面積，再整理成關于a的一元二次方程，利用判別式可得其面積的取值范圍，可求得答案．