Question

【題目】如圖，在中，，，，點是的中點，點是邊上一動點，沿所在直線把翻折到的位置，若線段交于點，且為直角三角形，則的長為______．

Answer 1

【答案】6或

【解析】

由三角函數得出∠A=30°，由直角三角形的性質得出AB=2BC=8，由折疊的性質得出DA=DC=2，FA′=FA，∠DA′F=∠A=30°，設BF=x，則AF=8-x，FA′=8-x，①當∠BEA′=90°時，由三角函數得出AE=3，得出EF=3-（8-x）=x-5，由直角三角形的性質得出方程，解方程即可；
②當∠BA'E=90°時，作FH⊥BA'，交BA'的延長線于H，連接BD，證明Rt△BDA'≌Rt△BDC，得出BA′=BC=4，求出∠FA'H=60°，在Rt△BFH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解：

∴∠A=30°，
∴AB=2BC=8，

∵點D是AC的中點，沿DF所在直線把△ADF翻折到△A′DF的位置，線段A′D交AB于點E，

設BF=x，則AF=8-x，FA′=8-x，下面分兩種情況討論:
①當∠BEA′=90°時，在Rt△ADE中，

∴EF=3-（8-x）=x-5，
在Rt△A'FE中，∵∠FA'E=30°，
∴FA'=2FE，即8-x=2（x-5），
解得x=6，即BF=6；
②當∠BA'E=90°時，作FH⊥BA'，交BA'的延長線于H，連接BD，如圖所示：

在Rt△BDA'和△BDC中

∴Rt△BDA'≌Rt△BDC（HL），
∴BA′=BC=4，
∵∠BA'F=∠BA'E+∠FA'E=90°+30°=120°，
∴∠FA'H=60°，
在Rt△FHA'中，

在Rt△BFH中，∵FH2+BH2=BF2，

解得：x= ，即BF= .
綜上所述，BF的長為6或.
故答案為6或.