Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E為AD的中點，不用圓規、量角器等工具，只用無刻度的直尺作圖．

（1）如圖1，在BC上找點F，使點F是BC的中點；

（2）如圖2，連接AC，在AC上取兩點P，Q，使P，Q是AC的三等分點．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據矩形的對角線相等且互相平分作出圖形即可；

（2）根據矩形的性質和三角形中位線定理作出圖形即可．

（1）如圖1，連接AC、BD交于點O，延長EO交BC于F，則點F即為所求．

證明如下：

∵ABCD是矩形，

∴BO=OD，AD∥BC，AD=BC，

∴∠EDO=∠FBO．

∵∠EOD=∠FOB，

∴△EOD≌△FOB，

∴ED=FB=AD=BC，

∴F為BC的中點．

（2）如圖2，BD交AC于O，延長EO交BC于F．

連接EB交AC于P，連接DF交AC于Q，則P、Q即為所求．

證明如下：

由（1）可得：F為BC的中點，

∴ED=BF=AE=FC，ED∥BF，

∴四邊形EBFD是平行四邊形，

∴BE∥FD．

∵FC=BF，

∴CQ=PQ．

∵AD∥BC，

∴∠EAC=∠FCA，∠ADQ=∠CFQ．

∵BE∥FD，

∴∠AEP=∠ADQ，

∴∠AEP=∠CFQ．

在△AEP和△CFQ中，

∵∠EAC=∠FCA，AE=CF，∠AEP=∠CFQ，

∴△AEP≌△CFQ，

∴AP=CQ，

∴AP=PQ=CQ，

∴P，Q是AC的三等分點．