Question

【題目】數和形是數學的兩個主要研究對象，我們經常運用數形結合、數形轉化的方法解決一些數學問題。下面我們來探究“由數思形，以形助數”的方法在解決代數問題中的應用．

探究一：求不等式的解集

（1）探究的幾何意義

如圖①，在以O為原點的數軸上，設點A＇對應點的數為，由絕對值的定義可知，點A＇與O的距離為，

可記為：A＇O=。將線段A＇O向右平移一個單位，得到線段AB，，此時點A對應的數為，點B的對應數是1，

因為AB= A＇O，所以AB=。

因此，的幾何意義可以理解為數軸上所對應的點A與1所對應的點B之間的距離AB。

（2）求方程=2的解

因為數軸上3與所對應的點與1所對應的點之間的距離都為2，所以方程的解為

（3）求不等式的解集

因為表示數軸上所對應的點與1所對應的點之間的距離，所以求不等式解集就轉化為求這個距離小于2的點所對應的數的范圍。

請在圖②的數軸上表示的解集，并寫出這個解集

探究二：探究的幾何意義

（1）探究的幾何意義

如圖③，在直角坐標系中，設點M的坐標為，過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則點P點坐標（），Q點坐標（），|OP|=，|OQ|=，

在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，則

因此的幾何意義可以理解為點M與原點O（0,0）之間的距離OM

（2）探究的幾何意義

如圖④，在直角坐標系中，設點 A＇的坐標為，由探究（二）（1）可知，

A＇O=，將線段 A＇O先向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到線段AB，此時A的坐標為（），點B的坐標為（1,5）。

因為AB= A＇O，所以 AB=，因此的幾何意義可以理解為點A（）與點B（1,5）之間的距離。

（3）探究的幾何意義

請仿照探究二（2）的方法，在圖⑤中畫出圖形，并寫出探究過程。

（4）的幾何意義可以理解為：_________________________.

拓展應用：

（1）+的幾何意義可以理解為：點A與點E的距離與點AA與點F____________（填寫坐標）的距離之和。

（2）+的最小值為____________(直接寫出結果)

Answer 1

【答案】探究一（3） 解集為：

探究二（3）（）拓展應用（1）（） （2）5

【解析】

試題分析：探究一（3）：的解集就是數軸上所對應的點與1所對應的點之間的距離小于2的點所對應的數，利用數軸可知

探究二（3）：根據題目信息，的幾何意義可以理解為點A（）與點B（）之間的距離。

拓展應用：根據題目信息知是與點F（）的距離之和。

+表示點A與點E的距離與點A與點F（）的距離之和。∴最小值為E與點F（）的距離5.

試題解析：探究一

（3）

解集為：

探究二（3）

如圖⑤，在直角坐標系中，設點 A＇的坐標為，

由探究（二）（1）可知， A＇O=，

將線段 A＇O先向左平移3個單位，再向下平移4個單位，

得到線段AB，此時A的坐標為（），點B的坐標為（）。

因為AB= A＇O，所以 AB=，

因此的幾何意義可以理解為點A（）與點B（）之間的距離。

拓展應用

（1）（） （2）5