Question

【題目】如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y= 的圖象相交于點A（﹣2，1），點B（1，n）．
（1）求此一次函數和反比例函數的解析式；
（2）請直接寫出滿足不等式kx+b﹣ ＜0的解集；
（3）在平面直角坐標系的第二象限內邊長為1的正方形EFDG的邊均平行于坐標軸，若點E（﹣a，a），如圖，當曲線y= （x＜0）與此正方形的邊有交點時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A（﹣2，1）在反比例函數y= 的圖象上，

∴m=﹣2×1=﹣2，

∴反比例函數解析式為y=﹣ ；

∵點B（1，n）在反比例函數y=﹣ 的圖象上，

∴﹣2=n，即點B的坐標為（1，﹣2）．

將點A（﹣2，1）、點B（1，﹣2）代入y=kx+b中得：

，解得： ，

∴一次函數的解析式為y=﹣x﹣1

（2）解：不等式﹣x﹣1﹣（﹣ ）＜0可變形為：﹣x﹣1＜﹣ ，

觀察兩函數圖象，發現：

當﹣2＜x＜0或x＞1時，一次函數圖象在反比例圖象下方，

∴滿足不等式kx+b﹣ ＜0的解集為﹣2＜x＜0或x＞1

（3）解：過點O、E作直線OE，如圖所示．

∵點E的坐標為（﹣a，a），

∴直線OE的解析式為y=﹣x．

∵四邊形EFDG是邊長為1的正方形，且各邊均平行于坐標軸，

∴點D的坐標為（﹣a+1，a﹣1），

∵a﹣1=﹣（﹣a+1），

∴點D在直線OE上．

將y=﹣x代入y=﹣ （x＜0）得：

﹣x=﹣ ，即x2=2，

解得：x=﹣ ，或x= （舍去）．

∵曲線y=﹣ （x＜0）與此正方形的邊有交點，

∴﹣a≤﹣ ≤﹣a+1，

解得： ≤a≤ +1．

故當曲線y= （x＜0）與此正方形的邊有交點時，a的取值范圍為 ≤a≤ +1

【解析】（1）由點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出反比例函數系數m，從而得出反比例函數解析式；由點B在反比例函數圖象上，即可求出點B的坐標，再由點A、B的坐標利用待定系數法即可求出一次函數的解析式；（2）根據兩函數圖象的上下關系結合交點坐標，即可得出不等式的解集；（3）過點O、E作直線OE，求出直線OE的解析式，根據正方形的性質找出點D的坐標，并驗證點D在直線OE上，再將直線OE的解析式代入到反比例函數解析式中，求出交點坐標橫坐標，結合函數圖象以及點D、E的坐標即可得出關于a的一元一次不等式，解不等式即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．