Question

【題目】如圖，拋物線的頂點為C（1，﹣2），直線y=kx+m與拋物線交于A、B來兩點，其中A點在x軸的正半軸上，且OA=3，B點在y軸上，點P為線段AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點E．

（1）求直線AB的解析式．
（2）設點P的橫坐標為x，求點E的坐標（用含x的代數式表示）．
（3）求△ABE面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線頂點坐標為（1，﹣2），

∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，

∵OA=3，且點A在x軸的正半軸上，

∴A（3，0），

∴0=a（3﹣1）2﹣2，解得a= ，

∴拋物線解析式為y= （x﹣1）2﹣2= x2﹣x﹣ ，當x=0時可得y=﹣ ，

∴B（0，﹣ ），

設直線AB解析式為y=kx+b，把A、B坐標代入可得 ，解得 ，

∴y= x﹣

（2）

解：∵點P為線段AB上的一個動點，且PE⊥x軸，

∴點E的橫坐標為x，

∵點E在拋物線上，

∴E點的坐標為（x， x2﹣x﹣ ）

（3）

解：∵點P為線段AB上的一點，

∴P（x， x﹣ ），則E（x， x2﹣x﹣ ），

∴PE= x﹣ ﹣（ x2﹣x﹣ ）=﹣ x2+ x，

由（2）可知點B到PE的距離x，點A以PE的距離為3﹣x，

∴S△ABE= PEx+ PE（3﹣x）= img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/07/19/20/4a6d7aa9/SYS201707192035174095939404_DA/SYS201707192035174095939404_DA.001.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> PE（x+3﹣x）= PE= （﹣ x2+ x）=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當x= 時，S△ABE有最大值，最大值為 ，

∴△ABE面積的最大值為

【解析】（1）由條件可先求得拋物線解析式，則可求得B點坐標，再利用待定系數法可求得直線AB解析式；（2）由條件可知P、E的橫坐標相同，又點E在拋物線上，則可表示出E點坐標；（3）由（2）可用x表示出PE的長，則可用x表示出△ABE的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值．