Question

【題目】我們規定，以二次函數的二次項系數的2倍為一次項系數，一次項系數為常數項構造的一次函數叫做二次函數的“子函數”，反過來，二次函數叫做一次函數的“母函數”．

（1）若一次函數是二次函數的“子函數”，且二次函數經過點，求此二次函數的解析式．

（2）如圖，已知二次函數的“子函數”圖象直線與軸、軸交于、兩點，點是直線上方的拋物線上任意一點，求的面積的最大值．

（3）已知二次函數與它的“子函數”的函數圖象有兩個交點，，且，求的值；

Answer 1

【答案】（1）；（2）13；（3），-6，6

【解析】

（1）由題意得：，，故拋物線的表達式為：，將點C的坐標代入即可求解；
（2）連接DP，過點P作y軸的平行線交CD于點H，設點P（，），則點H（，），由S△PCD=S△PHC-S△PHD=構造關于m的二次函數，利用二次函數的性質即可求解；

（3）由二次函數的“子函數”為，知，，聯立與得，利用根與系數的關系結合已知條件即可求解．

（1）由題意得：，，
故拋物線的表達式為：，將點C(3，0)的坐標代入得：，

解得：c=3，
故拋物線的表達式為：；

（2）如圖所示，連接DP，

設點P（，），

二次函數中，，，
∴“子函數”圖象直線的表達式為：，

令，則；令，則；

∴點C、D的坐標分別為（-2，0）、（0，-4），

過點P作y軸的平行線交CD于點H，則點H（，），

∴S△PCD=S△PHC-S△PHD=

，

∵，∴S△PCD有最大值，
當時，其最大值為13；

（3）由二次函數的“子函數”為，

知：，，

∴二次函數的解析式為，其“子函數”為，

聯立，

消去得，

由根與系數的關系得：，，

∵，

整理得：，

∴，

解得：．

故的值分別為：，，．