Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ +bx+c圖象經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是拋物線上位于第一象限內的點，D是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過點D分別作DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F．
①求證：四邊形DECF是矩形；
②試探究：在點D運動過程中，DE、DF、CF的長度之和是否發生變化？若不變，求出它的值，若變化，試說明變化情況．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為拋物線與x軸交于（﹣1，0）（4，0），可以假設y=a（x+1）（x﹣4）

∵a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+1）（x﹣4）

即y=﹣ x2+ x+2

（2）

①證明：把C（m，m﹣1）代入y=﹣ x2+ x+2得

m﹣1=﹣ m2+ m+2，

∴m1=﹣2，m2=3，

∵C在第一象限，

∴ ，∴m＞1，

∴m=﹣2（不符合題意，舍），m=3，

∴C的坐標是（3，2），

∵BC//DE DF//AC，

∴四邊形DECF是平行四邊形，

∵AB2=25 AC2=20 BC2=5

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴四邊形BECF是矩形．

②∵DE//BC，

∴△AED∽△ACB，

∴ = ①．

同理，得

= ②，

①+②得

+ = =1，

∵AC=2 ，BC= ，CF=ED，

∴ + =1，

即2ED+DF=2 ，

∴ED+DF+FC=2 ，

∴DE、DF、CF的長度之和不變化，ED+DF+FC=2

【解析】1）因為拋物線與x軸交于（﹣1，0）（4，0），可以假設y=a（x+1）（x﹣4），由題意a=﹣ 代入整理即可求出b、c．（2）①利用待定系數法思想求出點C坐標，利用勾股定理的逆定理證明∠ACB=90°，由此即可解決問題；
②根據相似三角形的判定與性質，可得 = ， = ，根據等式的性質，可得 + ，再根據等量代換，可得答案．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的應用，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解即可以解答此題．