Question

【題目】如圖①，在平行四邊形OABC中，以O為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點B，與OC相交于點D．

（1）求∠OAB的度數；

（2）如圖②，點E在⊙O上，連接CE與⊙O交于點F，若EF＝AB，求∠COE的度數．

Answer 1

【答案】(1) 45°;(2) 105°

【解析】

（1）連接OB，根據BC是圓的切線、四邊形OABC是平行四邊形得到△AOB是等腰直角三角形，即可求得答案；

（2）作OH⊥EC于點H，設EH＝t，根據四邊形OABC是平行四邊形得到AB＝CO＝EF＝2t，根據等腰直角三角形的性質可求得半徑為t，利用勾股定理可求得OC＝2OH，從而求得∠OCE＝30°，繼而求得答案.

（1）如圖①，連接OB，

∵BC是圓的切線，∴OB⊥BC，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴OA∥BC，∴OB⊥OA，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠OAB＝45°；

（2）如圖②，過點O作OH⊥EC于點H，設EH＝t，

∵OH⊥EC，

∴EF＝2HE＝2t，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴AB＝CO＝EF＝2t，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴OA＝t，

則HO＝，

∵OC＝2OH，

∴∠OCE＝30°，

∵HO＝EH＝t且OH⊥EC，

∴∠OEC＝∠EOH＝45°，

∴∠OEC＝180°﹣∠OCE﹣∠OCE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．