Question

【題目】如圖1，地面BD上兩根等長立柱AB，CD之間有一根繩子可看成拋物線y＝0.1x2﹣0.8x+5．

（1）求繩子最低點離地面的距離；

（2）因實際需要，在離AB為5米的位置處用一根立柱MN撐起繩子（如圖2），使左邊拋物線F1的最低點距MN為1米，離地面2米，求MN的長；

（3）將立柱MN的長度提升為5米，通過調整MN的位置，使拋物線F2對應函數的二次項系數始終為．設MN離AB的距離為m，拋物線F2的頂點離地面距離為k，但2≤k≤3時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）米；（2）米；（3）2≤m≤8﹣2．

【解析】

（1）直接利用配方法求出二次函數最值得出答案；

（2）利用頂點式求出拋物線F1的解析式，進而得出x=5時，y的值，進而得出MN的長；

（3）根據題意得出拋物線F2的解析式，得出k的值，進而得出m的取值范圍．

解：（1）∵a＝0.1＞0，

∴拋物線頂點為最低點，

∵y＝0.1x2﹣0.8x+5＝0.1（x﹣4）2+，

∴繩子最低點離地面的距離為：米；

（2）由（1）可知，對稱軸為x＝4，則BD＝8，

令x＝0得y＝5，

∴A（0，5），C（8，5），

由題意可得：拋物線F1的頂點坐標為：（4，2），

設F1的解析式為：y＝a（x﹣4）2+2，

將（0，5）代入得：16a+2＝5，

解得：a＝，

∴拋物線F1為：y＝（x﹣4）2+2，

當x＝5時，y＝+2＝，

∴MN的長度為：米；

（3）∵MN＝DC＝5，

∴根據拋物線的對稱性可知拋物線F2的頂點在ND的垂直平分線上，

∴F2的橫坐標為：（8﹣m）+m＝m+4，

∴拋物線F2的頂點坐標為：（m+4，k），

∴拋物線F2的解析式為：y＝（x﹣m﹣4）2+k，

把C（8，5）代入得：（8﹣m﹣4）2+k＝5，

解得：k＝﹣（4﹣m）2+5，

∴k＝﹣（m﹣8）2+5，

∴k是關于m的二次函數，

又∵由已知m＜8，在對稱軸的左側，

∴k隨m的增大而增大，

∴當k＝2時，﹣（m﹣8）2+5＝2，

解得：m1＝2，m2＝14（不符合題意，舍去），

當k＝3時，﹣（m﹣8）2+5＝3，

解得：m1＝8﹣2，m2＝8+2（不符合題意，舍去），

∴m的取值范圍是：2≤m≤8﹣2．