Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是線段BC上一點，以O為圓心，OC為半徑作⊙O，AB與⊙O相切于點F，直線AO交⊙O于點E，D．

（1）求證：AO是△ABC的角平分線；

（2）若tan∠D＝，求的值；

（3）如圖2，在（2）條件下，連接CF交AD于點G，⊙O的半徑為3，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）連接OF，可得OF⊥AB，由∠ACB＝90°，OC＝OF，可得出結論；

（2）連接CE，先求證∠ACE＝∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，結合tan∠D＝＝，即可得到結論；

（3）連接CF交AD于點M，由（2）可知，AC2＝AEAD，先求出AE，AC的長，則AO可求出，證△CMO∽△ACO，可得OC2＝OMOA，求出OM，CM，結合CF＝2CM，即可求解．

（1）如圖1，連接OF，

∵AB與⊙O相切于點F，

∴OF⊥AB，

∵∠ACB＝90°，OC＝OF，

∴AO是△ABC的角平分線；

（2）如圖2，連接CE，

∵ED是⊙O的直徑，

∴∠ECD＝90°，

∴∠ECO+∠OCD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠ECO＝90°，

∴∠ACE＝∠OCD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∴∠ACE＝∠ODC，

∵∠CAE＝∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴，

∵tan∠D＝，

∴＝，

∴＝；

（3）由（2）可知：＝，

∴設AE＝x，AC＝2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴，

∴AC2＝AEAD，

∴（2x）2＝x（x+6），

解得：x＝2或x＝0（不合題意，舍去），

∴AE＝2，AC＝4，

∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，

如圖3，連接CF交AD于點M，

∵AC，AF是⊙O的切線，

∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，

∴CF⊥AO，

∴∠ACO＝∠CMO＝90°，

∵∠COM＝∠AOC，

∴△CMO∽△ACO，

∴，

∴OC2＝OMOA，

∴OM＝，

∴CM＝，

∴CF＝2CM＝．