Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，BC=6， ．求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠BDO，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠CDA=∠ODB，

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ADO+∠CDA=90°，

即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD，

∵OD是⊙O半徑，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD

∴△CDA∽△CBD

∴

∵ ，BC=6，

∴CD=4，

∵CE，BE是⊙O的切線

∴BE=DE，BE⊥BC

∴BE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2

解得：BE= ．

【解析】（1）連OD，OE，根據圓周角定理得到∠ADO+∠ODB=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠ODB，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根據已知條件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性質得到 ，求得CD=4，由切線的性質得到BE=DE，BE⊥BC根據勾股定理列方程即可得到結論．