Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．

（1）請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系 ；

（2）將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖②，連接AE，請判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）AF=AE；

（2）AF=AE，證明見解析.

【解析】解：（1）如圖①中，∵四邊形ABFD是平行四邊形，

∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，

∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=AE．

（2）如圖②中，連接EF，DF交BC于K．

∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB∥DF，

∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，

∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，

∵∠DKC=∠C，∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD， 在△EKF和△EDA中，

，

∴△EKF≌△EDA， ∴EF=EA，∠KEF=∠AED，

∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．