Question

【題目】已知在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）∠ABC＋∠ADC＝　　°；

（2）如圖①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，請寫出DE與BF的位置關系，并證明；

（3）如圖②，若BE，DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），試求∠E的度數．

Answer 1

【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450

【解析】

（1）根據四邊形內角和等于360°列式計算即可得解；
（2）延長DE交BF于G，根據角平分線的定義可得∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的內角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根據垂直的定義證明即可；
（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延長DC交BE于H，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求解即可．

（1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；
故答案為180°；
（2）解：延長DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；
（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，
∵BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=×180°=45°，
延長DC交BE于H，
由三角形的外角性質得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E=90°-45°=45°