Question

（2013年廣東梅州8分）如圖，在四邊形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB與點(diǎn)E，且CF=AE，

（1）求證：四邊形BECF是菱形；
（2）若四邊形BECF為正方形，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）證明：∵EF垂直平分BC，∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD。
又∵∠ACB=90°，∴EF∥AC。∴BE：AB=DB：BC。
∵D為BC中點(diǎn)，∴DB：BC=1：2。∴BE：AB=1：2。∴E為AB中點(diǎn)，即BE=AE。
∵CF=AE，∴CF=BE。
∴CF=FB=BE=CE。∴四邊形BECF是菱形。
（2）∵四邊形BECF是正方形，∴∠CBA=45°，
∵∠ACB=90°，∴∠A=45°。

（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，有BE=EC，BF=FC，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證明。
（2）正方形的性質(zhì)知，對(duì)角線平分一組對(duì)角，即∠ABC=45°，進(jìn)而求出∠A=45°。