Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A的坐標為（0，4），點B在x的負半軸上，△AOB的面積為8，作△AOB關于y軸的對稱圖形，點B的對應點為C．

（1）求線段OC的長；

（2）點D從A點出發，沿線段AO向終點O運動，同時點E從點C出發，沿x軸的正方向運動，且CE＝AD，連接DE交AC于點G，判斷DG和EG的數量關系，并說明理由．

（3）在（2）的條件下，當∠CEG＝∠ABD時，求點G點坐標．

Answer 1

【答案】（1）OC＝4；（2）DG＝GE，見解析；（3）G（3，1）．

【解析】

（1）利用三角形的面積公式求出OB，再根據對稱性解決問題即可．

（2）證明△DGH≌△EGC（AAS）可得結論．

（3）如圖3中，連接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．設AD=DH=x，則AH=x，HC=4﹣x，證明△DHG∽△CHD，推出，由此構建方程求出x即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵A（0，4），

∴OA=4，

∵S△AOB=×OB×OA=8，

∴OB=4，

∵△AOB與△AOC關于y軸對稱，

∴OC=OB=4．

（2）如圖2中，結論：DG=GE．

理由：作DH∥EC交AC于H．

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠DAH=∠ACO=45°，

∵DH∥OC，

∴∠AHD=∠ACO=45°，

∴∠DAH=∠AHD，

∴AD=DH，

∵AD=EC，

∴DH=EC，

∵∠DHG=∠GCE，∠DGH=∠CGE，

∴△DGH≌△EGC（AAS），

∴DG=EG．

（3）如圖3中，連接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．設AD=DH=x，則AH=x，HC=4﹣x，

∵HG=CG，

∴HG=HC=2﹣x，

∵OA⊥BC，OB=OC，

∴AB=AC，DB=DC，

∴∠ABC=∠ACB，∠DBO=∠DCO，

∴∠ABD=∠ACD，

∵∠CEG=∠ABD，

∴∠ACD=∠CEG，

∵DH∥CE，

∴∠HDG=∠CEG=∠DCH，

∵∠DHG=∠DHC，

∴△DHG∽△CHD，

∴，

∴，

解得x=2，

∴AH=CH=2，

∴H（2，2），

∵GH=GC，

∴G（3，1）．