Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第二象限內作正方形ABCD．

(1)求點A、B的坐標，并求邊AB的長；

(2)求點C和點D的坐標；

(3)在x軸上找一點M，使△MDB的周長最小，請求出M點的坐標，并直接寫出△MDB的周長最小值．

Answer 1

【答案】(1)A(﹣4，0)，B(0，2)；AB=2；(2)D(﹣6，4)，C(﹣2，6)；(3)M坐標為(﹣2，0)，△MDB的周長為2+6．

【解析】

(1)對于直線解析式，分別令x＝0與y＝0求出對應y與x的值，確定出A與B的坐標，得到OA與OB的長，利用勾股定理求出AB的長即可；

(2)過D作DE垂直于x軸，過C作CF垂直于y軸，根據四邊形ABCD的正方形，得到四條邊相等，四個角為直角，利用同角的余角相等得到三個角相等，利用AAS得到△EDA，△AOB以及△BFC全等，利用全等三角形的對應邊相等得到DE＝OA＝BF＝4，AE＝OB＝CF＝2，進而求出OE與OF的長，即可確定出D與C的坐標；

(3)找出B關于y軸的對稱點B′，連接DB′，交x軸于點M，此時BM+MD＝DM+MB′＝DB′最小，即△BDM周長最小，設直線DB′解析式為y＝kx+b，把D與B′坐標代入求出k與b的值，確定出直線DB′解析式，令y＝0求出x的值，確定出此時M的坐標即可．

解：(1)對于直線y＝x+2，

令x＝0，得到y＝2；令y＝0，得到x＝﹣4，

∴A(﹣4，0)，B(0，2)，即OA＝4，OB＝2，

則AB＝＝2；

(2)過D作DE⊥x軸，過C作CF⊥y軸，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠BFC＝∠DEA＝∠AOB＝90°，

∵∠FBC+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∠DAE+∠BAO＝90°，

∴∠FBC＝∠OAB＝∠EDA，

∴△DEA≌△AOB≌△BFC(AAS)，

∴AE＝OB＝CF＝2，DE＝OA＝FB＝4，

即OE＝OA+AE＝4+2＝6，OF＝OB+BF＝2+4＝6，

則D(﹣6，4)，C(﹣2，6)；

(3)如圖所示，連接BD，找出B關于y軸的對稱點B′，連接DB′，交x軸于點M，此時BM+MD＝DM+MB′＝DB′最小，即△BDM周長最小，

∵B(0，2)，

∴B′(0，﹣2)，

設直線DB′解析式為y＝kx+b，

把D(﹣6，4)，B′(0，﹣2)代入得：，

解得：k＝﹣1，b＝﹣2，

∴直線DB′解析式為y＝﹣x﹣2，

令y＝0，得到x＝﹣2，

則M坐標為(﹣2，0)，

此時△MDB的周長為2+6．