Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E 是AB 上的一點，連接DE，過點A作AF⊥DE，垂直為F．圓O經過點C ，D ，F，且與AD相交于點G．

(1)求證，△AFG∽△DFC；

(2)若AB=3，BC=5，AE=1，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）欲證明△AFG∽△DFC，只要證明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；

（2）首先證明CG是直徑且△EDA∽△ADF，結合△AFG∽△DFC，利用相似三角形的性質求出AG，得到DG，再利用勾股定理求出CG即可解決問題．

（1）證明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠CDF+∠ADF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四邊形GFCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠FGA=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．

（2）解：如圖，連接CG．

∵∠ADC=90°,

∴CD為⊙O的直徑，
∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴，即，
∵△AFG∽△DFC，
∴，
∴，
在矩形ABCD中，DA=BC=5，DC=AB=3
∴

∴DG=AD-AG=5-=,

在Rt△CDG中，

∵CG是⊙O的直徑，
∴⊙O的半徑為．