Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線與軸的另一個交點為，連接．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）已知點的坐標為，將拋物線向上平移得到拋物線，拋物線與軸分別交于點(點在點的左側)，如果與相似，求所有符合條件的拋物線的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的函數表達式為或．

【解析】

（1）根據和拋物線的對稱性可得是等腰直角三角形，過作，利用等腰直角三角形的性質可求出點M的坐標，再將點A和點M的坐標代入求解即可；

（2）利用等腰直角三角形的性質和角的計算可得，分兩種情況：，分別求得點F的坐標，由題意可設的函數表達式為，將點F的坐標代入即可求得結果．

解：（1）∵拋物線的頂點為，

由拋物線的對稱性可得：，

，

是等腰直角三角形，

如圖，過作軸于，則為OA的中點，

可得：，

∴點的坐標為，

把點代入，可得

，解得，

拋物線的函數表達式為；

（2）是等腰直角三角形，，，

，

，

由題意可知：點F在點A的右側，，

∴，

∵點的坐標為，

∴，

①當時，，

即，解得，

∴點的坐標為，

②當時，，

即，解得，

∴點的坐標為；

拋物線向上平移得到拋物線，拋物線：化為頂點式得，

設拋物線的函數表達式為，

把點代入得：

，解得：，

此時拋物線的函數表達式為；

把點代入得：

，解得：，

此時拋物線的函數表達式為；

綜上所述，所有符合條件的拋物線的函數表達式為或．