Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分線BE和CF交AD于E、F，BE和CF相交于點G．
（1）求證：AF=DE；
（2）在題目條件的基礎上再添加一個條件，使△GEF為等腰直角三角形，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）求出AB=CD，AD∥BC，根據平行線性質和角平分線性質求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF即可．
（2）可使△GEF為等腰直角三角形，然后反推得出條件．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理DF=CD，
∴AE=DF，
即AE-EF=DF-EF，
∴AF=DE．
（2）添加，∠ABC=∠BCD．
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠FEG=∠EFG，
∴GF=GE，
又∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠FEG+∠EFG=90°，
∴△GEF是等腰直角三角形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質及等腰直角三角形的判定，在解答第二問的時候，要是不好得出條件，可以反推條件，然后再證明．