Question

【題目】已知拋物線（是常數）的頂點為，直線

求證：點在直線上；

當時，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，與直線的另一個交點為，是軸下方拋物線上的一點，（如圖），求點的坐標；

若以拋物線和直線的兩個交點及坐標原點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點的坐標為；（3）的值為，，，，．

【解析】

（1）利用配方法得到，點，然后根據一次函數圖象上點的坐標特征判斷點在直線上；

（2）當時，拋物線解析式為，根據拋物線與軸的交點問題求出，易得，通過解方程組，得，，作軸于，軸于，軸于，如圖，證明，利用相似得，設，則，得（舍去），，于是得到點的坐標為；

（3）通過解方程組得，，利用兩點間的距離公式得到，，然后分類討論：當時，；當時，；當時，，再分別解關于的方程求出即可.

證明：∵，

∴點的坐標為，

∵當時，，

∴點在直線上；

解：當時，拋物線解析式為，

當時，，解得，，則，

當時，，則，

可得解方程組，解得或，

則，，

作軸于，軸于，軸于，如圖，

∵，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴，

設，

∴，，

∴，

整理得，解得（舍去），，

∴點的坐標為；

解：解方程組得或，則，，

∴，，，

當時，，解得，；

當時，，解得，；

當時，，解得，

綜上所述，的值為，，，，．