Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D點，連接CD．

（1）求證：∠A=∠BCD；
（2）若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC為直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠A+∠DCA=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DCB+∠ACD=90°，

∴∠DCB=∠A

（2）當MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切；

解：連接DO，

∵DO=CO，

∴∠1=∠2，

∵DM=CM，

∴∠4=∠3，

∵∠2+∠4=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴直線DM與⊙O相切，

故當MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切．

【解析】（1）根據圓周角定理可得∠ADC=90°，再根據直角三角形的性質可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）當MC=MD時，直線DM與⊙O相切，連接DO，根據等等邊對等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根據∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，進而證得直線DM與⊙O相切．
【考點精析】關于本題考查的切線的判定定理，需要了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．