Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，點E在BA延長線上，點F在BC上，且∠CDE＝2∠ADF．

（1）求證：∠E＝2∠CDF；

（2）若F是BC中點，求證：AE+DE＝2AD；

（3）作AG⊥DF于點G，連CG．當CG取最小值時，直接寫出AE：AB的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）1：2

【解析】

（1）如圖1，延長BC至M，使得CM=AE，連接DM，根據正方形性質得出AB=BC=AD=CD，然后進一步證明△ADE△CDM，據此利用全等三角形性質以及正方形性質進一步分析求證即可；

（2）如圖2，延長BC至M，使得CM=AE，連接DM，作MH⊥DF于H，設BF＝FC＝x，利用勾股定理求出DF＝x，據此進一步分析證明△DFC~△MFH，最后再利用相似三角形性質進一步加以分析求證即可；

（3）如圖3﹣1中，取AD的中點N，首先求出當C、G、N三點共線時，CG最小，然后如圖3﹣2中，當C、G、N共線時，延長BC至M，使得CM=AE，連接DM，通過證明四邊形NCMD為平行四邊形進一步求解即可.

（1）證明：如圖1，延長BC至M，使得CM=AE，連接DM，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC=AD=CD，

在△ADE與△CDM中，

∵AD=CD，∠DAE=∠DCM，AE=CM，

∴△ADE△CDM（SAS），

∴∠E＝∠M，∠EDA＝∠CDM，

∴∠CDE＝∠ADM，

∵∠CDE＝2∠ADF，

∴∠ADM＝2∠ADF，

∴∠FDM＝∠ADF，

∵正方形ABCD中AD∥BC，

∴∠ADF＝∠DFM＝∠FDM，

∴∠E＝∠M＝180°﹣2∠DFM，

∵∠DCB＝90°，

∴∠CDF＝90°﹣∠DFM，

∴∠E＝2∠CDF．

（2）證明：如圖2，延長BC至M，使得CM=AE，連接DM，作MH⊥DF于H．

∵若F是BC中點，設BF＝FC＝x，則CD＝2x，

在Rt△FDC中，DF＝x，

由（1）得，∠DFM＝∠FDM，

∴DM＝FM，

又∵HM⊥DF，

∴FH＝DF＝x，

∵∠DFC＝∠MFH，∠DCB＝∠MHF＝90°，

∴△DFC~△MFH，

∴，

∴FM＝x，

∴CM＝AE＝FM﹣FC＝x，

∵DE＝DM＝FM＝x，

∴AE+DE＝x+x＝4x，

∵CD＝AD＝2x，

∴AE+DE＝2AD．

（3）如圖3﹣1中，取AD的中點N．

∵AG⊥DF于點G，

∴∠AGD＝90°，

∵AN＝DN，

∴GN＝AD，

∵CG≥CN﹣GN，

∴當C、G、N三點共線時，CG最小．

如圖3﹣2中，當C、G、N共線時，延長BC至M，使得CM=AE，連接DM，

∵∠AGD＝90°，N為AD中點，

∴AN＝NG＝ND，

∴∠NGD＝∠ADF，

由（1）∠ADF＝∠FDM，

∴∠NGD＝∠FDM，

∴DM∥NC，

∵正方形ABCD中AD∥BC，

∴四邊形NCMD為平行四邊形，

∴CM＝DN＝AD，

∵CM＝AE，

∴AE＝AD＝AB，

∴AE：AB＝1：2．