Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，聯(lián)結(jié)AP并延長AP交CD于F點(diǎn)，

（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；

（2）如果PA=PC，聯(lián)結(jié)BP，求證：△APB△EPC．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)得到EC垂直平分BP，根據(jù)E為AB中點(diǎn)，得到AE=EB，根據(jù)EQ為△ABP的中位線，得出AF∥EC即可；

（2）由翻折性質(zhì)∠EPC=∠EBC=，∠PEC=∠BEC，再求出△AEP為等邊三角形即可求解.

解：（1）證明：由折疊得到EC垂直平分BP，

設(shè)EC與BP交于Q，∴BQ=EQ

∵E為AB的中點(diǎn)， ∴AE=EB，

∴EQ為△ABP的中位線，∴AF∥EC，

∵AE∥FC， ∴四邊形AECF為平行四邊形；

（2）∵AF∥EC，∴∠APB=∠EQB=90°

由翻折性質(zhì)∠EPC=∠EBC=90°，∠PEC=∠BEC

∵E為直角△APB斜邊AB的中點(diǎn)，且AP=EP，

∴△AEP為等邊三角形 , ∠BAP=∠AEP=60°，

在△ABP和△EPC中， ∠BAP=∠CEP，∠APB=∠EPC，AP=EP

∴△ABP≌△EPC（AAS），